小学阶段非常是高年级要慢慢带领高足从“做数学”“算数学”过渡到“想数学”，在进修数学学识的同时进展数学心思，如许高足才有潜力。——林俊

林特说的很谬误啊！下列文章来自林特。

课前推敲

通常教太高年级的教练都有如许的领会：离别进修圆柱、圆锥的体积时，对于体积公式推导始末的领会和公式的使用，高足“清风凉爽”，根基没有甚么题目。不过，一旦将圆柱、圆锥体积的相干实质交叉在一同，高足就会“混沌一片”，差错百出。为甚么会产生如许的境况呢？除了题目难度补充外，另一个出处便是讲义习题编排。本相上，险些没有讲义在编写时对圆柱、圆锥体积的相干大书特书。假使像苏教版讲义，编排了不少稳固圆柱、圆锥体积相干的习题，不过从编排布局看也是较量杂乱的（下列表）。

何如打破这个公认的进修难点呢？寻常教练选用的法子是分类处置，各个击破，始末种种题型的一再研习到达攻坚克难的对象。不过如许依靠仿照、回顾加强锻炼的进修方法反面影响不少，不光轻易复生，况且不能转移，于是这类做法该当果断放弃。我的做法是原本清源，以简驭繁！即返回到相干学识起始，创建根基模子，协助高足内化根基模子，真实领会种种根基模子的内涵相干，实行从“多点布局”到“有关布局”的高出，进而以稳定应万变。

教室尝试

一、唤起追思，平添模子

师：当日研习圆柱和圆锥的体积，甚么是体积？何如求圆柱的体积？圆锥的体积呢？圆锥的体积是何如推导出来的？（课件同步动态演示圆锥体积公式推导始末，板书：等底等高）

师：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积比是几何？（贴出大圆柱圆锥如图1）也便是一个圆柱也许换成几个如许的圆锥？（课件演示如图2）

师：反过来，圆锥体积是这个圆柱的——

生（齐）：三分之一。

师：这个圆柱的三分之一有多大？想一想，是如许吗？（课件演示如图3）

生（众）：是。

师：这个小圆柱和圆锥有甚么相干？

生：体积相等，底面积也相等，小圆柱的高是圆锥的三分之一。（板贴如图4）

师：为甚么小圆柱的高是圆锥的三分之一？

生（指着图3）：由于大圆柱和圆锥的高相等，装满水的圆锥倒三次碰巧把大圆柱倒满，倒一次水的高度（也便是小圆柱的高度）即是大圆柱的三分之一，于是小圆柱的高是圆锥的三分之一。

生（愉快地）：我看出来了，小圆柱、圆锥的高都跟大圆柱较量，小圆柱的高是大圆柱的三分之一，大圆柱和圆锥的高相等，于是小圆柱的高是圆锥的三分之一。

师：分离图形说理，明领会白！领会了它们的相干，也许协助咱们柔软推敲。

高足对于等底等高圆柱和圆锥的相干，寻常不过逗留于体积之间相干的领会，这是基于测验的直觉领会程度。显然，如许的认识是简洁的、浅层的。高足高阶心思的进展、处置题目本事的升高，须要以继续积蓄的鲜明、柔软的相干模子做为支持，而笼统的相干模子老是依靠于直觉的表象。上述传授从正、逆两个方位施行了诘问，生成的变式模子拓展了高足原有的认识版图，特为是从“体积比”到“高之比”，涉及到了高足的认知盲区，也许深入、活化高足的认知程度。

二、多元表征，领会模子

1.在处置题目中领会

出示习题：一个圆柱和一个圆锥，底面半径都是3厘米，高都是12厘米。它们的体积一国有几何立方厘米？（你能用不同的法子推敲吗？）

（1）提议请求，自力推敲。请求：只列出综划算式，不揣度。

（2）展现功课，调换法子。

生1：32π×12+1/3×32π×12

师：你是何如想的？

生：圆柱的体积加之圆锥的体积。

生2：1/3×32π×12×（1+3）

师：括号里1+3指的是甚么？

生：把圆锥体积算做1份，圆柱体积有如许的3份，体积和便是4份。

生3：32π×12×（1+1/3）

师：为甚么乘（1+1/3）？

生：把圆柱体积算做单元“1”，圆锥体积占1/3，体积和相当于圆柱体积的4/3。

生4：32π×（12+12×1/3）。

师：12×1/3示意甚么？12+12×1/3示意甚么？

生：（指图4）把圆锥设想成一个和它等积等底的小圆柱，12×1/3便是这个小圆柱的高，12+12×1/3便是求组合成的圆柱高。（如图5）

师：实用减法做的吗？

生5：32π×12×2-1/3×32π×12×2，上头的圆锥算做与它等底等高的圆柱削成的，圆锥体积是1份，削去了如许的2份。用2个圆柱体积减去2个圆锥体积。（如图6）

师：众人的设想力真丰盛！不管是将圆柱设想成圆锥，仍是将圆锥设想成圆柱，原来都是一种转折，转折心思也许协助咱们更好地进修数学。

大多半高足应付数知识题处置的立场是会不会做，而不太重视题目处置的始末中所用心思法子及其变动。上述题目“门坎”很低，险些每个高足都能用根基的法子回答。不过从高足使用“转折”心思处置题目的始末中，也许显然看到高足之间心思程度的庞大不同。表象储藏丰盛、模子领会粗浅的高足，也许遵循题目音信自动唤起表象、索取相干模子，从不同角度转折，他们处置题目显示出法子各类、心思柔软、观点特殊的特点。始末教室展现、对话、互动，也许翻开高足领会的“天窗”，推进高足心思的“爬坡”。

2.在多元表征中领会

出示：一齐圆柱形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。

（1）把它捏成底面积是15平方厘米的圆锥形，高是（）厘米。

师：（先出示：把它捏成圆锥形）这时形态变了，甚么确定稳定？

生：体积稳定。

师：对，这叫等积变形。（再出示：底面积是15平方厘米）目前呢？

生：底面积稳定，高变了。（板书：等积等底）

师：设想一下，这个圆锥会是何如的呢？看第一个圆锥，会是它吗？为甚么？第二个圆锥呢？第三个是你设想中的状态吗？（顺次出示图7中的三个圆锥）

师：在底面积相等的前提下，要使体积稳定，该当将圆锥的高变大。圆锥的高变大到几何才也许呢？请列式揣度。

生：15×6×3÷15=18（厘米），或6×3=18（厘米）。

师：这两个算式有联络吗？

生：第一个算式中的乘15、除以15对消后，便是6×3。

师：是不是整个等积等底的圆柱和圆锥的高之比都的1:3？

生（意见不一）：是，不是。

师：这个圆柱是何如渐渐变为这个高高的圆锥的？请你斗胆设想。

生：圆柱先变为3个等底等高的圆锥，接着再把它们叠起来。

师：这3个圆锥何如变为这个大圆锥呢？

生：每个小圆锥体积是它住址圆柱的三分之一，叠起来的3个小圆锥体积是它住址大圆柱的三分之一，而这个大圆柱体积的三分之一便是大圆锥的体积。（高足回复始末中，动态出示图8）

师：如许的设想是不是确定有事理呢？

部份高足仍是不敢确定。

师：咱们也许分离公式推敲，圆柱体积V=Sh，即是一个圆锥体积V=1/3Sh，再乘3，即V=Sh=1/3×S×h×3，变形以后也便是1/3×S×（h×3），那末高便是本来的3倍。

圆柱和圆锥的三类根基相干模子中，等底等高高足较量熟识，就数等积等底与等积等高轻易混淆。为了散开难点，先中心商议等积等底的情景。而等积等底难点的打破，只是依赖一次数学运动，力度显然不足，高足追思也不粗浅。故，带领高足充足始末设想、揣度、较量、置疑、推理等数学运动，不光始末量元表征使高足对相干论断领会通透，况且使用公式施行数学推理，使高足对论断自身越发确信无疑。如许传授，培植了高足的求真品质和理性精力。

师：方才咱们研讨了等底等高、等积等底两种境况，尚有其余境况吗？

生（众）：等积等高。

（2）出示：把它捏成高是6厘米的圆锥形，底面积是（）平方厘米。

师：先本人想一想，列式或绘图示意推敲始末，再和同桌调换。

生：圆柱形橡皮泥捏成圆锥，体积稳定；在高稳定的前提下，要使体积相等，该当将底面积扩张到本来的3倍，15×3=45（平方厘米）。

生：15×6×3÷6=45（平方厘米）。

师：猎稀奇！这个圆柱何如渐渐变为这个扁扁的圆锥的？

生：把圆柱换成3个等底等高的圆锥，再把它们并排靠在一同，就也许变为一个大圆锥。（如图9）

师：怎样使用公式施行推理？

生：圆柱体积V=Sh，是与它等底等高圆锥体积的3倍，也便是1/3Sh×3，也许转折为1/3×h×（S×3），也就相当于高稳定，底面积是3S的大圆锥体积。是以，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。

师：在体积相等、高也相等的前提下，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。（板贴如图10）

师：当日咱们又商议了等积等底、等积等高的境况，使用这些论断，也许协助咱们便利地处置更繁杂的题目。

有了等积等底的进修阅历，等积等高的情景教练就斗胆撒手了，高足也许把习得的相干阅历、法子转移过来，施行类推。同时，揣度、设想、推理等进修运动的安顿，既全部吻合高足由易到难的进修特色，也知足了不同高足的认知须要。

3.在归纳使用中领会

判定：底下的圆锥与哪些圆柱的体积相等。（单元：厘米）

师：请取舍（在功课纸上打√），你选第几个？用手势示意。

绝大多半高足取舍第③个，也有还取舍第②个的。

师：为甚么不选第①个和第④个？

生：第①个圆柱和圆锥等底等高，是以圆柱体积是圆锥的3倍，第④个圆柱显然小多了。

师：为甚么大多半人取舍第③个？

生：圆锥的高是圆柱的3倍，底面积又相等，吻合等积等底的境况（如图4），于是它们体积相等。

师：你能反过来使用这个论断，真不简洁！有疑义的第②个，何如判定？

生：高相等，倘使两私人积相等，那末圆锥的底面积应是圆柱底面的3倍。而这边圆锥的直径是圆柱直径的3倍，料到圆锥半径是圆柱半径的3倍，圆锥底面积便是圆柱底面积的9倍。

师：倘使有的同窗还不足确定，咱们也许看看揣度成绩。（逐一出示每个图形的体积揣度始末与成绩）

高足心思本事的升高，确定始末归纳使用学识处置题目的历练始末。在高足进一步领会等积等底、等积等高的根基模子后，供给繁杂题目情境，便于高足直接遵循模子特点做出判定，或者始末简洁揣度，再与根基模子特点对比处置题目，而不是只是依靠揣度这一唯独路径。尝试解释，高足完万也许辨别响应的模子，进而处置题目变得越发直接而伶俐，这对培植高足判定本事和推理本事大有裨益。

三、拓展晋升，活用模子

出示：一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：6。

师：你能绘图示意它们的体积比吗？

巡查时，觉察有的高足在给定的圆锥傍边，画了一个底面积相等的圆柱，但看不出高的相干；有的高足不光画了一个底面积相等的圆柱，况且还从圆锥的顶点起向圆柱中央画了一条程度的虚线，令人一眼就看出高的相干；固然尚有些高足思而不得。

当有的高足百思不得其解时，教练出示波利亚名言：“倘使你不能处置所提议的题目，可先处置一个与此相干的题目。你能不能想出一个更轻易开始的相干题目？”

师：分离以前的图形或阅历，体积比是几比几咱们是非常熟识的？

生：体积比是1：3。（出示图12）

师：（带领高足看黑板上的三个模子图）尚有吗？

生（欣慰状）：图4原来还也许看做体积比是1：1的。（出示图13）

生（众，释然开畅）：喔！

师：目前你能绘图示意它们的相干吗？

高足自力绘图，尔后展现调换：（图14）

生：第一组它们底面积相等，体积比是1：3，要使体积比是1：6，要补充一个圆柱，是以圆柱的高该当是圆锥高的2倍。

生：第二组它们底面积也相等，体积比是1：1，要使体积比是1：6，要补充五个如许的小圆柱，是以圆柱的高也是圆锥高的2倍。

师：这时圆柱和圆锥的高甚么相干？

生：这时圆柱的高是圆锥的2倍，圆锥的高是圆柱的1/2。

师：倘使圆锥的高是3厘米，圆柱的高是几何厘米？倘使圆柱的高是12厘米，圆锥的高是几何厘米？

师：倘使圆锥和圆柱的底面积相等，体积比是1：9。高之间是几倍相干？

在高足也许分辨、使用等积等底与等积等高模子后，供给的拓展题具备确定的挑战性和怒放性，为高足柔软使用模子处置题目缔造了机缘。拓展题是原有根基模子的变式，况且变式的路径不一。传授中觉察高足平等底等高的模子索取较量轻易，而平等积等底的模子较量窘迫。便是在如许继续的叫醒、索取、使用的始末中，模子表象才越发鲜活，进修的难点才有或者被攻陷。

课后深思

公然展现后，获取听课教练的高度评估，使我倍感欣慰。我想要紧仍是在精确认识学情后，把岁月花在讲义研读、习题整闭合，使一盘散沙成为有机团体。

传授关节

重组后次序

调换的企图

一

研习四

第2题

舍去数据：依靠圆锥公式推导测验造成的表象，商议相干，从“等底等高”过渡到“等积等底”，创建两个不同的根基模子。

二

整顿与研习

第6题

变动前提：把直径6厘米改成半径3厘米，便于高足列综划算式，把中心放在解题的思绪、法子的多元与模子的开端使用上。

整顿与研习

第5题

分步浮现：先中心研讨“等积等底”情景，再把研讨的法子转移到“等积等高”上。

研习四

第6题

变动数据：把直径9（3）厘米改成6（2）厘米，便于高足口算，直接借助根基模子推敲、较量、判定、推理。

三

研习四

推敲题

舍去题目：先绘图表征相干，领会了两个图形高之间的相干，题目随之瓜熟蒂落。面对繁杂题目时，储蓄在永劫回顾中的不同根基模子，并不会自动叫醒并提掏出来。形式可否辨别、模子索取的不同，响应了高足对根基模子领会的广度与深度。

布局化重组，让传授从低效走向高效。倘使依照讲义本来的编排次序传授，须要三课时才略实行。不过由于这些题目是散开、驳杂在其余实质当中的，传授时难以充足敞开，寻常不过就题了题，浅尝辄止般过了一次，固然难以获取梦想的传授功效。其余，有的题目揣度较量耗时（如研习十四第6题），于是我厘正了数据，便于高足口算，把要紧的精力放在张望、推敲、较量、推理上；有的题目相通（如研习十四第11题和整顿与研习第6题），我就采取一题，带领高足从不同角度转折，把它用足、做足；有的题目很难（如研习十四推敲题），变式程度较大，我就调换次序，让它结尾上台。这样处置（下列表），将无序的实质有序化，冗杂的揣度简洁化，松懈的题目布局化，大地面升高了传授效率。

此文发布在小学数学教练年第三期，做家林俊。曾经受权在本

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