介绍数学的书籍很多，基本上可分为两类，一类是令人生畏的充满定理公式的正宗数学书，一类是科普性读物。后者通常是以智力游戏形式出现，结果是许多人以为数学就是做数字游戏或帮助智力开发。

介绍数学模型，首先要分析“模型”二字，“模型”之中的“模”。模者，法式、规范、标准。本义：铸造器物的模子。

按《说文》：水曰法、木曰模、土曰型、金曰镕、竹曰范。模型有实物模型和理论模型之分，对描述的对象用数学语言作出的描述和处理都称为数学模型。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学，它是通过抽象化和逻辑推理，在计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生的。数学是现代科学技术的基础，广义地说，任何领域中涉及数量化处理的模型都可以称为数学模型。“万物皆数量”，大至宇宙航天，小到日常生活，数与量无处不在。

随着电子计算机科学技术的发展和普及，大规模计算和海量数据的处理已不再是难事。几乎所有领域都会谈及“模型”或“模式”，数学正受到前所未有的重视。但是数学的灵魂是抽象和逻辑，这也使太多太多的人们从小时候喜欢数学，到大学后害怕数学，再到后来逃离数学。

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什么是数学模型

数学模型（MathematicalModel）是近年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。现在数学模型还没有一个统一的、准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。但基本的内涵是这样的，数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而做的一个抽象的、简化的结构。

具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图、程序等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式，是对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画。它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学建模（MathematicalModeling）是应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。

根据对研究对象观察到的现象及实践经验，它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量（尤其是定量）的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代，随着人类使用数字，就开始不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对大学生的综合素测评、对教师工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确定一个最佳方案。建立数学模型是联系实际问题与数学工具的一座必不可少的桥梁。

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建立数学模型的要求

（１）真实完整

真实的、系统的、完整的、形象的客观现象；必须具有代表性；具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验中，能得到关于原型客体的原因；必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。

（２）简明实用

在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能简单和可操作，数据易于采集。

（３）适应变化

随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好地适应新情况。根据研究目的，对所研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型。通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法。

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数学模型分类

数学模型是数学抽象和概括后的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释。广义地说，数学概念如数、集合、向量、方程都可称为数学模型；狭义地说，只有反映特定问题和特定具体事物系统的数学关系结构方可称为数学模型。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。

（１）确定性模型和随机模型

描述客体必然现象的模型叫做确定性模型，其数学工具一般是代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等。描述客体或然现象的称为随机性模型，随机性模型中变量之间的关系是以统计值或概率分布的形式给出的。在体育实践中常常提到优秀运动员身体体型的数学模型：现代的世界级短跑运动健将模型为身高一米八几、体重80公斤左右、米成绩10秒左右或更好等，但北京和伦敦奥运会冠军牙买加的博尔特则是另类，他身高达1.96米。

（２）静态模型和动态模型

静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。

（３）连续时间模型和离散时间模型

模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。

（４）参数模型与非参数模型

用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。

（５）线性模型和非线性模型

线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，即可得到近似的线性模型。

（６）白箱模型、灰箱模型和黑箱模型

根据对某个实际问题了解的深入程度，分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所有过程都建立在因果关系基础上的模型。灰箱模型或概念模型是指那些内部规律尚不十分清楚、在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。黑箱模型（或称经验模型）是指其内部规律还很少为人们所知的现象。

还可根据建模中所用的数学方法，分为初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等。根据研究课题的实际范畴，分为人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等。

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数学模型的基本原则

（１）简化原则

现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾，数学模型应比原型简化，数学模型自身也应是“最简单”的。

（２）可推导原则

由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的、可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。

（３）反映性原则

数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。

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数学建模过程

建立数学模型需要哪些步骤并没有固定的模式，下面只是按照一般情况，提出一个建立模型的大体过程。

（１）模型的准备

要了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。总之，就是要做好建立模型的准备工作。这一步往往要查阅大量资料，请教专家，以便对问题有透彻的了解。

（２）模型的假设

根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行必要的简化，并且用精确的语言作出假设，是建立模型的第二步，也可以说是关键的一步。有时，假设做得过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能使你很难继续下一步的工作，所以要善于辨别问题的主要和次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量使问题均匀化、线性化。

（３）建立模型

根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立多个量之间的等式或不等式关系列出表格，画出图形，或确定其他数学结构，是建立数学模型的第三步。为了完成这项数学建模的主体工作，人们常常需要具有比较广阔的数学知识，除了微积分、微分方程、线性代数及概率统计等基础知识外，还会用到诸如规划论、排队论、图论、网络及对策论等。推而广之，可以说任何一个数学分支都可能应用于建模过程中。当然，这并不是要求我们对数学的各个分支都精通。事实上，建模时还有一个原则，即尽可能采用简单的数学工具，以便使更多的人能够了解和使用。

（４）模型的求解

对以上建立的模型进行数学上的求解，包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等，不仅会用到传统的和近代的数学方法，而且会用到计算机相关的知识。

（５）模型的分析

对上面求得的模型结果进行数学上的分析。有时是根据问题的性质，分析各变量之间的关系和特定性态；有时是根据所得的结果给出数学上的预测；有时则是给出数学上的最优决策或控制。

（６）模型的检验

这一步是把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那么我们必须回到建模之初，修改、补充假设，重新建模，即再按上述步骤操作直到模型检验这一步；如果检验结果与实际情况相符，则进行最后的工作——模型的应用。

我们看到，数学建模实际上是经过若干次循环而逐渐接近真理的过程。应该指出的是，并非所有的建模过程都要经过上述这些步骤，有时各个步骤之间的界限也并不是那么明显。因此，在建模过程中不要局限于形式上的按部就班，重要的是根据对象的特点和建模的目的，去粗取精、去伪存真，不断完善。

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